Thèse Problèmes Inverses Bayésiens pour la Propagation d'Ondes Vers l'Exascale H/F - Doctorat.Gouv.Fr

Établissement : Université de Pau et des Pays de l'Adour École doctorale : Sciences Exactes et leurs Applications Laboratoire de recherche : Laboratoire de Mathématiques et de leurs Applications de Pau Direction de la thèse : Sébastien TORDEUX ORCID 0000000213578472 Début de la thèse : 2026-11-01 Date limite de candidature : 2026-10-30T23:59:59 Contexte. La thèse s'inscrit dans le projet Exa-MA du programme NumPEx, qui vise à développer des méthodes et une pile logicielle pour le calcul exascale. Exa-MA porte plus précisément sur les méthodes numériques et les algorithmes mathématiques nécessaires. La thèse sera accueillie par l'équipe-projet Inria Makutu, spécialisée dans les problèmes inverses en propagation d'ondes et leurs méthodes théoriques et numériques.

Problématique. Un problème inverse consiste à retrouver des paramètres inconnus d'un modèle à partir de mesures de sa solution. Ici, le modèle direct est une équation aux dérivées partielles (EDP) munie de conditions aux limites et initiales. Le problème inverse est généralement mal posé. L'approche déterministe classique minimise une fonctionnelle d'écart entre prédictions et observations, avec une régularisation de Tikhonov, généralement par une méthode de type quasi-Newton. L'approche bayésienne propose un cadre probabiliste : elle cherche la loi a posteriori des paramètres à partir d'une loi a priori et d'une vraisemblance définie à l'aide du modèle direct. Cette loi constitue la solution du problème inverse bayésien et permet de quantifier les incertitudes associées aux paramètres estimés. Son exploration repose notamment sur les méthodes de Monte-Carlo par chaînes de Markov (MCMC). Le projet met également l'accent sur l'inversion de Kalman d'ensemble (EKI) et l'apprentissage automatique afin de réduire les coûts de calcul.

Programme de travail. Le cas d'étude de base est l'équation des ondes acoustiques dans un domaine borné, avec une vitesse du son variable. Il pourra être étendu à des milieux élastiques et anisotropes. La thèse se déroulera en plusieurs phases :

1. Cadre bayésien : formuler le problème inverse bayésien pour l'équation des ondes en suivant Stuart (2010), étudier rigoureusement l'existence et la stabilité de la loi a posteriori ainsi que la convergence de ses approximations numériques, puis mettre en oeuvre une méthode MCMC pour son échantillonnage.

2. Inversion de Kalman d'ensemble (EKI) : adapter à l'équation des ondes l'approche d'Iglesias, Law et Stuart (2013), étudier ses propriétés de stabilité et de convergence sous des hypothèses adaptées, puis développer et évaluer un algorithme d'inversion fondé sur les ensembles de Kalman.

3. Modèles de substitution par apprentissage : construire des modèles de substitution de type PINN (réseaux de neurones informés par la physique) afin de réduire le coût des évaluations répétées du modèle direct, particulièrement élevé en 3D. L'influence des erreurs d'approximation sur les résultats de l'inversion sera étudiée.

4. Passage à l'échelle : les méthodes MCMC et EKI offrent des possibilités importantes de parallélisation, notamment pour les évaluations du modèle direct. La dernière phase portera sur l'adaptation des méthodes développées à de très grands problèmes inverses en propagation d'ondes, en s'appuyant sur des outils de calcul d'ensemble à grande échelle adaptés aux plateformes exascale. La thèse s'inscrit dans le projet Exa-MA du programme NumPEx, qui vise à développer des méthodes et une pile logicielle pour le calcul exascale. Exa-MA porte plus précisément sur les méthodes numériques et les algorithmes mathématiques nécessaires. La thèse sera accueillie par l'équipe-projet Inria Makutu, spécialisée dans les problèmes inverses en propagation d'ondes et leurs méthodes théoriques et numériques.

Le candidat ou la candidate devra posséder de solides compétences en mathématiques appliquées, notamment en équations aux dérivées partielles, ainsi que de bonnes connaissances en probabilités et en processus stochastiques. Une maîtrise des méthodes numériques et une expérience en programmation scientifique sont également attendues pour résoudre les équations aux dérivées partielles et mettre en oeuvre les méthodes d'inversion et de simulation stochastique. Des connaissances en apprentissage automatique seront appréciées. Une bonne maîtrise de l'anglais scientifique, à l'écrit comme à l'oral, est nécessaire.

• Programmation
• Anglais
• Machine learning
• Mathématiques
• Chimie